Seguimos con juegos de semillas

Cuando Camila se cansó de jugar con las semillas y las cinco cajas, guardó los elementos y se fue a jugar con su hermano. Más tarde notó que había olvidado algunas semillas sin guardar. Las contó, eran 48.

Su hermano puso las semillas en tres cajas. Camila hizo lo siguiente: de la primer caja pasó a la segunda tantas semillas como había en ésta. Luego, pasó de la segunda a la tercera tantas semillas como había en la tercera, y, por último, de la tercera pasó a la primera tantas cerillas como tenía ahora la primera caja.

Luego de estos tres pasos, notó que cada caja contenía el mismo número de semillas.

¿Cuántas semillas había en cada caja al principio?

Y lo más interesante: cómo se puede calcular la cantidad de semillas al comienzo?

Un problema similar

Otro problema (también del material de entrenamiento de la OMA), similar al anterior en cuanto a los conceptos subyacentes:

Un juego consiste en un tablero de 9 botones luminosos dispuestos formando un cuadrado de 3×3. Un botón puede estar en “estado apagado” o “estado encendido”. Si se aprieta un botón del borde cambian de estado él y todos sus vecinos, y si se aprieta el botón del centro cambian de estado todos sus vecinos pero él no. ¿Es posible (apretando sucesivamente algunos botones) encender todas las luces, si inicialmente estaban todas apagadas? Justifique la respuesta.

Primer problema

Aquí propongo un primer problema para discutir, basado en un problema extraído del material de entrenamiento de la OMA. Como todo problema de olimpíada matemática, no interesa tanto el resultado/respuesta, sino el razonamiento que nos lleva a ese resultado. En los comentarios, pueden dejar su respuesta al problema y sus argumentos.

Camila está jugando este juego:

Tiene cinco cajas con una semilla de maíz en cada una, y además, una bolsa con muchas semillas más. En cada jugada, elige dos cajas cualesquiera y realiza alguna de estas tres acciones:

- quita una semilla de ambas cajas,

- coloca una semilla en cada caja,

- sacar una semilla de una de las cajas escogidas y dejarla en la otra caja escogida.

¿Es posible mediante estas operaciones tener 10 semillas en cada caja?

¿Es posible llegar a tener 5 en cada caja?

Si alguna de las preguntas anteriores tiene respuesta afirmativa, indicar cómo debe hacerse.

Así comienza...

Decidí crear este espacio para que sea un lugar de encuentro entre aquellos que tenemos algo que ver con la Olimpíada Matemática Argentina, tanto competidores, como docentes, entrenadores y padres. Iré publicando problemas que me parezcan interesantes, para que todos los que quieran lo comenten, compartan sus razonamientos y nos enriquezcamos entre todos.

También habrá lugar para contar anécdotas vividas en las distintas competencias que se lleven a cabo.

Todas las sugerencias que quieran hacer serán bienvenidas.