Primer problema
Aquí propongo un primer problema para discutir, basado en un problema extraído del material de entrenamiento de la OMA. Como todo problema de olimpíada matemática, no interesa tanto el resultado/respuesta, sino el razonamiento que nos lleva a ese resultado. En los comentarios, pueden dejar su respuesta al problema y sus argumentos.
Tiene cinco cajas con una semilla de maíz en cada una, y además, una bolsa con muchas semillas más. En cada jugada, elige dos cajas cualesquiera y realiza alguna de estas tres acciones:
- quita una semilla de ambas cajas,
- coloca una semilla en cada caja,
- sacar una semilla de una de las cajas escogidas y dejarla en la otra caja escogida.
¿Es posible mediante estas operaciones tener 10 semillas en cada caja?
¿Es posible llegar a tener 5 en cada caja?
Si alguna de las preguntas anteriores tiene respuesta afirmativa, indicar cómo debe hacerse.
escrito por Lorena | 23:30
4 Comentarios:
No, no es posible. Estoy casi segura. Estuve jugando un buen rato, y no logré hacerlo
Gracias por participar, Camila.
Antes que nada, cuál de las dos preguntas respondés?
Cuando estuviste jugando y no lograste las condiciones pedidas... no pudiste detectar POR QUÉ no pudiste? En qué falla?
No es posible mediante estas operaciones tener 10 semillas en cada caja.
Debido a que el juego se comienza con un número impar de semillas (5) dentro de las cajas (no es relevante el dato que hay una en cada caja, sino que son en total 5) y las acciones posibles no permiten ingresar un número impar de semillas (45) para tener en total 50 semillas:
La primera acción permite (aunque se realice varias veces) extraer siempre un número par de semillas, lo que hará que el total de semillas siga siendo impar (impar – par = impar).
La segunda acción permite (aunque se realice varias veces) agregar siempre un número par de semillas, lo que hará que el total de semillas siga siendo impar (impar + par = impar).
La última acción descripta no permite modificar el número de semillas que hay en total en todas las cajas.
Podríamos generalizar el resultado y decir que las acciones descriptas y el comenzar con una semilla en cada caja no permitirán obtener ninguna situación donde la suma de la cantidad de semillas sea par.
Es posible tener 5 semillas en cada caja.
En este caso es posible porque tendremos en total 25 (que es un número impar) semillas.
Siempre que el número total de semillas que se quiera tener sea impar y se comience con un número impar de semillas en las cajas, es posible encontrar solución al problema. Un procedimiento que puede seguirse es:
Si el número total de semillas n con el que empezamos (en este caso 5) es menor que el número total que deseamos m (en este caso 25), aplicamos la segunda acción (m-n)/2 veces (en este caso 10 veces) y luego utilizamos la tercera acción descripta para reacomodar las semillas. Por ejemplo, podríamos aplicar 5 veces la segunda acción con dos cajas y 5 veces con otras dos (con esto tendríamos 4 cajas con 6 semillas cada una y 1 caja con una semilla), luego aplicar 4 veces la tercera acción, siempre con la caja que tenía una y una vez con cada una de las que tenían 6 (este procedimiento... ¿será el que requiere el menor número de acciones?).
Si el número total de semillas n con el que empezamos es mayor que el número total que deseamos m, aplicamos la primera acción (n-m)/2 veces y luego utilizamos la tercera acción descripta para reacomodar las semillas.
Si el número total de semillas con el que empezamos es igual que el número total que deseamos, aplicamos solamente la tercera acción descripta para reacomodar las semillas.
Juan Pablo.
Perfecto!
Entre pares e impares estaba la explicación. Con un razonamiento parecido se resuelve el problema siguiente...
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