Otro tablero

En un tablero rectangular de p filas y q columnas están escritos todos los números enteros desde el 1 hasta el pq, en orden creciente, comenzando con el 1 en la casilla superior izquierda y terminando con pq en la casilla inferior derecha. Se sabe que 95 está en la tercera fila, 987 está en la vigésimo primera fila (es decir, en la fila número 21) y 1999 está en la última fila. Hallar las dimensiones p y q del tablero.

- Solución enviada por Rafael Trossero
- Solución enviada por Rodolfo Iglesia
- Solución enviada por Gisela Minella

Insomnio

Rocío tiene problemas de insomnio. Duerme muy poco. Durante 11 semanas controló cuánto tiempo pasaba durmiendo notó que cada día durmió una cantidad entera de horas. Además, durmió al menos una hora por día, y a lo sumo 12 por semana.
Mostrar que, en estas condiciones, hubo una cantidad de días consecutivos en los que durmió en total 21 horas.

- Solución enviada por Rodolfo Iglesia

Triangulandia

Sea ABC un triángulo cuyo lado mayor es BC. Sea P en BC tal que BP = BA y sea Q en BC tal que CQ = CA. Probar que el ángulo QAP es igual a la semisuma de los ángulos ABC y BCA.

- Solución enviada por Rafael Trossero

- Solución enviada por Rodolfo Iglesia

Dominó cuadriculado

Se quiere cubrir el siguiente tablero con fichas de dominó (que ocupan dos casilleros).






Demostrar que no es posible hacerlo.



Resolvieron este problema Nadia Costa, Rafael Trossero, José Díaz y Rodolfo Iglesia, que dijeron:

Si intentamos cubrir con fichas de dominó el tablero cada ficha cubrirá una casilla negra y una blanca.
Pero el tablero no tiene la misma cantidad de casillas blancas y negras (hay 13 blancas y 15 negras).
Luego, no es posible cubrir el tablero con las fichas de domino.

Monedero limitado

Se quiere ubicar monedas de 1 cm de diámetro en el fondo de una caja cuadrada de lado 11 cm, tangencialmente, sin que se superpongan. ¿Es posible ubicar 126 monedas?


- Solución enviada por José Díaz.
- Solución enviada por Rodolfo Iglesia.
- Solución enviada por Rafael Trossero.

Uni-ficación

Se tienen escritos sobre un pizarrón once números 1.
Una operación consiste en tomar dos números y transformarlos de acuerdo a uno de estos posibles casos:
-sumarles a ambos 1
-restarles a ambos 1
-sumarle 1 a uno de los números y restarle 1 al otro.
¿Es posible luego de varias operaciones tener escritos en el pizarrón once números 10?


- Solución enviada por Rafael Trossero.
- Solución enviada por José Diaz.
- Solución enviada por Myriam Céspedes.
- Solución enviada por Rodolfo Iglesia.
- Solución enviada por El Hoy:

Las tres operaciones mantienen invariante la siguiente formula:
"La suma de todos los números es impar"
Por lo que es imposible llegar a una situación en que ese invariante es falso. (todos 10).

- Solución enviada por Cine Estudio:

La respuesta es que no se puede, ya que se parte de un total de 11 (el numero 1 0nce veces), y se quiere llegar a una suma total de 110 (el numero 10 once veces. Como podemos ver se quiere llegar de un numero impar a uno para, pero los mecanismos planteados solo preveen cambios de base par. (se adiciona dos - uno a cada uno- ó cero - se aumenta una unidad a uno y al otro se la resta).

Martín y Nicodemo

Dos amigos recorren el camino entre las ciudades Alameda y Rosedal, varias veces ida y vuelta. Parten simultáneamente desde Alameda, a velocidades diferentes pero constantes. Martín deja atrás a Nicodemo, al llegar a Rosedal regresa hacia Alameda y cruza a Nicodemo a 57 km de Rosedal. Luego de llegar a Alameda, Martín retorna, y se cruza a Nicodemo a la mitad del camino entre Alameda y Rosedal.
¿A qué distancia se encuentran las ciudades?

Ya he recibido respuestas a este problema, algunas en forma correcta y otras no. Aquí podrás leer todas las resoluciones recibidas:

- Solución de Milagros Langhi.
- Solución de Rodolfo Iglesia.
- Solución de Myriam Céspedes.
- Solución de José Díaz.
- Solución de Rafael Trossero.

- Solución enviada por Cine Estudio:

El problema dice que cuando uno de los individuos habia recorrido el camino 2,5 veces (ida y vuelta y mitad de camino) el otro solo habia recorrido 1,5 veces (ida y se encuentran a mitad de camino) por lo que vemos que hay una relación de 5 y 3 entre sus desplazamientos en función del tiempo. Como a su vez se plantea que cuando uno hubo llegado y recorrido 57km de vuelta se ha encontrado con el otro, sabiendo su relacion de recorrido, podemos decir entonces que si uno ha recorrido 3 y el otro 5 la diferencia es de 2, entonces si uno ha recorrido 3 + 2 (ida y vuelta) el otro solo 3 y se encuentran en el mismo punto, 57km es una unidad de esta escala, y equivaldría a la cuarta parte del camino total. Por lo que se puede decir que la distancia entre las dos ciudades es de 228km

Cualquier comentario del problema o las resoluciones publicadas, puedes agregarlo ingresando a "Comentarios".

Un paseo en caballo

Una tarde Camila se reúne con su amiga Nadia para jugar. Afuera está lloviendo, así que descartan en seguida la posibilidad de jugar al elástico en el patio (usando el tronco de un árbol como tercer jugador).

Camila revisa su baúl de juegos de mesa y encuentra el tablero del “Uno solo”, que es como se muestra en la figura.

Pero muchas de las fichas del "Uno solo" tenían paradero desconocido. En el fondo del baúl encuentran algunas piezas de ajedrez, y a Nadia se le ocurre la siguiente cuestión: podría el caballo de ajedrez recorrer todas las casillas de este tablero, por medio, obviamente, de movimientos correspondientes a nobles caballos de ajedrez.

¿Qué crees? ¿Es posible?

Seguimos con juegos de semillas

Cuando Camila se cansó de jugar con las semillas y las cinco cajas, guardó los elementos y se fue a jugar con su hermano. Más tarde notó que había olvidado algunas semillas sin guardar. Las contó, eran 48.

Su hermano puso las semillas en tres cajas. Camila hizo lo siguiente: de la primer caja pasó a la segunda tantas semillas como había en ésta. Luego, pasó de la segunda a la tercera tantas semillas como había en la tercera, y, por último, de la tercera pasó a la primera tantas cerillas como tenía ahora la primera caja.

Luego de estos tres pasos, notó que cada caja contenía el mismo número de semillas.

¿Cuántas semillas había en cada caja al principio?

Y lo más interesante: cómo se puede calcular la cantidad de semillas al comienzo?

Un problema similar

Otro problema (también del material de entrenamiento de la OMA), similar al anterior en cuanto a los conceptos subyacentes:

Un juego consiste en un tablero de 9 botones luminosos dispuestos formando un cuadrado de 3×3. Un botón puede estar en “estado apagado” o “estado encendido”. Si se aprieta un botón del borde cambian de estado él y todos sus vecinos, y si se aprieta el botón del centro cambian de estado todos sus vecinos pero él no. ¿Es posible (apretando sucesivamente algunos botones) encender todas las luces, si inicialmente estaban todas apagadas? Justifique la respuesta.

Primer problema

Aquí propongo un primer problema para discutir, basado en un problema extraído del material de entrenamiento de la OMA. Como todo problema de olimpíada matemática, no interesa tanto el resultado/respuesta, sino el razonamiento que nos lleva a ese resultado. En los comentarios, pueden dejar su respuesta al problema y sus argumentos.

Camila está jugando este juego:

Tiene cinco cajas con una semilla de maíz en cada una, y además, una bolsa con muchas semillas más. En cada jugada, elige dos cajas cualesquiera y realiza alguna de estas tres acciones:

- quita una semilla de ambas cajas,

- coloca una semilla en cada caja,

- sacar una semilla de una de las cajas escogidas y dejarla en la otra caja escogida.

¿Es posible mediante estas operaciones tener 10 semillas en cada caja?

¿Es posible llegar a tener 5 en cada caja?

Si alguna de las preguntas anteriores tiene respuesta afirmativa, indicar cómo debe hacerse.

Así comienza...

Decidí crear este espacio para que sea un lugar de encuentro entre aquellos que tenemos algo que ver con la Olimpíada Matemática Argentina, tanto competidores, como docentes, entrenadores y padres. Iré publicando problemas que me parezcan interesantes, para que todos los que quieran lo comenten, compartan sus razonamientos y nos enriquezcamos entre todos.

También habrá lugar para contar anécdotas vividas en las distintas competencias que se lleven a cabo.

Todas las sugerencias que quieran hacer serán bienvenidas.